3n+1_conjecture 10, n^n + 1 ≡ 0 mod 3, 今度は、足してみるか。

投稿者: | 01/17/2022

Now, Let’s preparatory exercise for the solution of 3n + 1 conjecture today too.

今日も準備運動です。
前々回、chapter357では引いてみましたが、今回は足してみます。すると、奇数が出てきました。

Q: Can you find the natural number(n) that satisfies below?
nn + 1 ≡ 0 mod 3

First, it transforms as follows about “nn + 1 ≡ 0 mod 3″.
nn ≡ -1 mod 3
nn ≡ (-1)n mod 3 (n is an odd number) — (1)

From the relation between congruence expression and polynomial with integer coefficients,
(1) can be transformed into the following.
n ≡ -1 mod 3 (n is an odd number) — (2)

Then, (2) can be transformed into the following.
It defines m in natural number.
n = 6m – 1 (m≧1)

Therefore, the solution to be obtained is
“n = 6m – 1 (m is natural number)”.

By the way …
if nn – 1 ≡ 0 mod 3, n = 6m + c (m is non-negative integer, c is either 1, 2 or 4)
if nn + 1 ≡ 0 mod 3, n = 6m – 1 (m is natural number)

First, 3n + 1 -> instead of 6n – 1 is no suitable.
Let’s try what happens in 6n + 1, 6n + 2, 6n + 4 next time.

ところで、6nが目立ち始めました。
6の倍数で有名なのは、5以上で、前後のいずれかが「奇素数」になることですね。
6n – 1は早々に脱落したので、6n + 1, 6n + 2, 6n + 4を、次回、みてみましょう。